Taylorův polynom
Taylorův polynom je polynom, který aproximuje funkci ze znalosti jejího chování pouze v jediném bodě narozdíl od Lagrangeova polynomu, který byl zadáván ve více bodech. Na rozdíl od Lagrangeova polynomu, není funkční hodnota jedinou informací, kterou by v zadaném bodě polynom o funkci měl.
Zadaná Funkce: f(x)=(x4-x2+2)(4x+3/2)=4x5+3/2x4-4x3-3/2x2+8x+3
Budu hledat Taylorův polynom v bodech [-1;-5] a [0;3].
Derivace funkce:……………….Body:
f‘(x)=20x4+6x3-12x2-3x+8……………[-1;13] a [0;8]
f‘‘(x)=80x3+18x2-24x-3……………….[-1;-41] a [0;-3]
f3(x)=240x2+36x-24…………………..[-1;180] a [0;-24]
f4(x)=480x+36………………………...[-1;-444] a [0;36]
f5(x)=480……………………...………[-1;480] a [0;480]
T(x-1)=-5+13(x+1)-41(x+1)2/2!+180(x+1)3/3!-444(x+1)4/4!+480(x+1)5/5!
T(x-1)=4(x+1)5-37(x+1)4/2+30(x+1)3-41(x+1)2/2+13x+8
T(x0)=3+8x-3x2/2!-24x3/3!+36x4/4!+480x5/5!
T(x0)=4x5+3/2x4-4x3-3/2x2+8x+3
Výsledné polynomy jsou T(x-1)=4(x+1)5-37(x+1)4/2+30(x+1)3-41(x+1)2/2+13x+8 a
T(x0)=4x5+3/2x4-4x3-3/2x2+8x+3.
Graf zadané i aproximované funkce je shodný.